Леван — воспитанник академии «Сабуртало» (Тбилиси). В различные годы выступал за такие команды, как «Локомотив» (Тбилиси), «Гагра», «Варкетили» (Тбилиси). Предыдущим клубом Тавзарашвили был «Орби» (Тбилиси).