Воспитанник осетинского футбола выступал за такие клубы, как «ФАЮР-Союз», «Крылья Советов» (Самара), «Уфа» и «Алания».
Азамат присоединился к «Алании» летом 2019 года. За пять с половиной лет в красно-желтой футболке Засеев провел 123 матча, 13 из которых — в Кубке России, 16 — во Второй лиге и 94 — в ФНЛ, неоднократно выводил команду на поле с капитанской повязкой. На счету игрока 65 побед, три гола и три ассиста за нашу команду.
Вместе с «Аланией» полузащитник поднимался в классе при выходе в ФНЛ, пробивался в полуфинал Кубка России и завоевывал «бронзу» Первой лиги.
Футбольный клуб «Алания» искренне благодарит Азамата Засеева за упорный труд, самоотдачу, преданность команде и профессиональный подход к своему делу.