Футболист является воспитанником владикавказской ДЮСШ «Юность».

В 2019 году Дауров провел два матча за «Спартак Владикавказ».

В том же году он перешел в молодежную команду ЦСКА.

В сезоне 2021/22 футболист стал чемпионом молодежного первенства России в составе «армейцев».

За «Аланию» Дауров начал выступать с июля 2022 года.

В прошлом сезоне игрок провел 14 матчей и отметился забитым мячом в составе основной команды. За «Аланию-2» Руслан сыграл пять встреч и забил один гол.